高中数学

1 集合与常见逻辑用语

1.1 集合

1.1.1 集合及其表示方法

把一些确定的、不同的对象汇集在一起，可以组成一个集合。组成集合的每个对象都是这个集合的元素。

集合通常用大写字母表示，元素通常用小写字母表示。

如果 $a$ 是集合 $A$ 中的元素，我们就说「$a$ 属于 $A$」，记作 $a\in A$。反之「$a$ 不属于 $A$」，记作 $a\notin A$。一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作 $\varnothing$。

由集合的概念可知，集合的元素有以下性质：

1. 确定性：集合的元素必须是确定的。
2. 互异性：集合的元素必须两两不同。相同的对象归入集合时只能算作一个元素。
3. 无序性：集合的元素可以任意排列。

对于给定的两个集合 $A,B$，如果组成它们的元素完全相同，则称这两个集合相等，记作 $A=B$。集合可以通过元素个数分为两类：含有有限、无限个元素的集合分别称为有限集和无限集。

常见数集：

• 所有非负整数组成自然数集，记作 $\mathbb{N}$。
• 自然数集去掉元素 $0$ 后组成正整数集，记作 $\mathbb{N}_+$ 或 $\mathbb{N}^*$。
• 所有整数组成整数集 $\mathbb{Z}$。
• 所有有理数组成有理数集 $\mathbb{Q}$。
• 所有实数数组成实数集 $\mathbb{R}$。

将集合中的元素一一列举出来（逗号分隔），写在大括号内，这种方法称为列举法。特殊地，元素较多且不会引起歧义的情况下，可以按规律列举几个元素作为代表，其余元素用省略号表示。如 $\{0,1,2,\cdots,100\}$。

当出现无限集或其他不方便用列举法的集合时，不妨使用特征性质描述法（特征法）。更具体地说，如果属于集合 $A$ 的任意一个元素 $x$ 均具有性质 $p(x)$，而不属于集合 $A$ 的元素不具有该性质，则称性质 $p(x)$ 是集合 $A$ 的一个特征性质。此时集合 $A$ 可以表示为

$\{x\mid p(x)\}$

特殊地，如果 $x$ 还满足 $x\in I$，则 $A$ 可以表示为

$\{x\in I\mid p(x)\}$

习惯上，如果 $a<b$，则集合 $\{x\mid a\le x\le b\}$ 可以简写为 $[a,b]$，称为闭区间。类似地 $\{x\mid a<x<b\}$ 可以简写为 $(a,b)$，称为开区间。$\{x\mid a\le x<b\},\{x\mid a<x\le b\}$ 分别简写为 $[a,b),(a,b]$，均称为半开半闭区间。

1.1.2 集合间的基本关系