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高中数学

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对数

对数是乘方的逆运算，与除是乘的逆运算类似。所以，所有对数的性质及推导过程都可以类比除法。

具体而言：

a+a+⋯+a⏞ba=a×ba=b,a×a×⋯×a⏞log⁡ab=alog⁡ab=b\begin{array}{cc} \overbrace{a+a+\cdots+a}^{\frac{b}{a}}=a\times\dfrac{b}{a}=b, & \overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{\log_ab}=a^{\log_ab}=b \end{array}

1a(M+N)=1a(a×1aM+a×1aN)log⁡a(M×N)=log⁡a(alog⁡aM×alog⁡aN)=1a(a×(1aM+1aN))=log⁡a(a(log⁡aM+log⁡aN))=1aM+1aN=log⁡aM+log⁡aN\begin{aligned} \dfrac{1}{a}(M+N)&=\dfrac{1}{a}\left(a\times\dfrac{1}{a}M+a\times\dfrac{1}{a}N\right)&\log_a(M\times N)&=\log_a{\left(a^{\log_aM}\times a^{\log_aN}\right)}\\ &=\dfrac{1}{a}\left(a\times\left(\dfrac{1}{a}M+\dfrac{1}{a}N\right)\right)&&=\log_a{\left(a^{\left(\log_aM+\log_aN\right)}\right)}\\ &=\dfrac{1}{a}M+\dfrac{1}{a}N&&=\log_aM+\log_aN \end{aligned}

这里的类比没有那么完美，是因为乘法和乘方的分配律不同：

a×(b+c)=a×b+a×c,ab+c=ab×ac\begin{array}{cc} a\times(b+c)=a\times b+a\times c, & a^{b+c}=a^b\times a^c \end{array}

同时注意，乘方不满足交换律，故对数同样不满足交换律。

向量数量积

我们希望定义一个向量之间的运算，使得其只与相对位置有关，且满足分配律。

该运算的引用场景例如计算力做的功。显然通过合力做功或分段做功可以得出分配律。因为空间是均匀的，故无论如何旋转，做的功大小相同，只与相对位置有关。

不妨称其为向量的数量积，记作 a⋅b\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}。

先说明其一个重要性质：若 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，那么 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0。

a⊥b  ⟹  a⊥−b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\implies\boldsymbol{a}\perp-\boldsymbol{b} 故 a⋅b=a⋅−b  ⟹  −(a⋅b)=a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot-\boldsymbol{b}\implies-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0。

计算 a⋅b\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} 时将 a,b\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} 正交分解，

a⋅b=(a∥+a⊥)⋅(b∥+b⊥)=a∥b∥+a∥b⊥+a⊥b∥+a⊥b⊥=a∥b∥+a⊥b⊥\begin{aligned} \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}&=(\boldsymbol{a}_\parallel+\boldsymbol{a}_\perp)\cdot(\boldsymbol{b}_\parallel+\boldsymbol{b}_\perp)\\ &=\boldsymbol{a}_\parallel\boldsymbol{b}_\parallel+\boldsymbol{a}_\parallel\boldsymbol{b}_\perp+\boldsymbol{a}_\perp\boldsymbol{b}_\parallel+\boldsymbol{a}_\perp\boldsymbol{b}_\perp\\ &=\boldsymbol{a}_\parallel\boldsymbol{b}_\parallel+\boldsymbol{a}_\perp\boldsymbol{b}_\perp\\ \end{aligned}

若 a=(xa,ya),b=(xb,yb)\boldsymbol{a}=(x_a,y_a),\boldsymbol{b}=(x_b,y_b)，则 a⋅b=xaxb+yayb\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=x_ax_b+y_ay_b。

同时若以 aa 为基分解 b=b∥+b⊥b=b_\parallel+b_\perp，则可以得到 a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡⟨a,b⟩\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\lang\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rang。

余弦定理

1
2
3
4
5
6
A<------B
^   c   ^
 \     /
 b\  a/
   \ /
    C

c2=(b−a)2c2=b2−2ba+a2∣c∣2=∣a∣2+∣b∣2−2∣a∣∣b∣cos⁡⟨a,b⟩\begin{aligned} \boldsymbol{c}^2&=(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})^2\\ \boldsymbol{c}^2&=\boldsymbol{b}^2-2\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}^2\\ |\boldsymbol{c}|^2&=|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2-2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\lang\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rang \end{aligned}